tugas kalkulus II 16 maret 2009

APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG RATA

• Daerah diatas sumbu x.

Luas A(R) = ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

• Daerah dibawah sumbu y.

Luas A(R) = - ∫ f(x) dx dengan batas (a,b)

• Langkah-langkah yang membantu penyelesaian mencari luas:

1. gambarlah daerah yang bersangkutan

2. potonglah menjadi jalur-jalur tertentu

3. hampiri luas suatu jalur tertentu

4. jumlahkan luas aproksimasinya

5. ambillah limitnya

• daerah antara dua kurva.

1. potong

2. aproksimasi

3. integralkan

contoh soal!

1. Tentukan luas daerah z yang dibatasi oleh y=x³-3x²-x+3, dan antara x=-1 dan x=2,

Jawab:

Jika kita sketsakan dengan gambar fungsi diatas, didapatlah:

A(z)= ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (-1,1)

- ∫ (x³-3x²-x+3) dx dengan batas (1,2)

= [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (-1,1) - [x4/4 - x³-x²/2 +3] batas (1,2)

= 4 – (-7/4)

= 23/4.

2. tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4-2x³+2 antara x= -1 dan x=2

jawab:

jika kita sketsakan grafik, maka;

A (R) = ∫(x4-2x³+2) dx dengan batas (-1,2)
= [ x5/5 - X4 /2 + 2X ] dengan batas (-1,2)
= (32/5 - 16/2 +4) - ( -1/5 -1/2 -2)
= 51/11

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin.

• Metode cakram.

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidangyang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut ak

an membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut disebut sumbu putar.

∆V=∏(f(x))² ∆x

• Metode cincin.

Ada kalanya apabila sebuahbenda putar kita potong-potong tegak lurus pada benda putarnya, kita memperole

h sebuahcakram yang ditengah-tengah ada lubangnya. Daerah demikian disebut cincin.

∆V=∏(f(x)-1²) ∆x

Contoh soal!

Carilah volume benda putar dari y= 3+2x-x² dengan batas x=0 dan x=3, dengan memutar mengelilingi sumbu x?

jawab:

jika kita sketsakan,. Jawaban untuk pertanyaan a lebih mudah

menggunakan metode cakram.,. yaitu :

∆V=∏( 3+2x-x² )² ∆x

V = ∏ ∫ ( 3+2x-x² )² dx ............................dengan batas (0,3)

= ∏ ∫ ( 9 + 2x²+x4) dx ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 4x + 4x³ ] ......................dengan batas (0,3)

= ∏ [ 24 + 108]

= 132 ∏.